Употребление частицы НЕ с разными частями речи – тема обширная и достаточно сложная. Что касается слова (не)воспитанный, слитное или раздельное написание зависит от контекста. Следует помнить, что лексема может быть отглагольным прилагательным или причастием. Это определяется смыслом предложения и также влияет на выбор орфограммы.
Слово пишут как слитно, так и раздельно. Оба варианта верны, все зависит от условий употребления в предложении: не воспитанный и невоспитанный.
Прежде всего, следует определить часть речи. Если слово обозначает постоянный признак, его относят к отглагольному прилагательному, тогда следует применять правило написания НЕ с именами прилагательными.
Правило первое: НЕ с полными прилагательными нужно писать раздельно, если выполнены 2 условия: есть противопоставление с союзом а или слова вовсе, совсем, отнюдь: Мальчик не воспитанный, а грубый; Мальчик совсем не воспитанный. В остальных случаях НЕ с прилагательными пишется слитно: невоспитанный мальчик.
Причастия имеют временный признак, к ним можно задать вопрос что сделанный? и заменить в предложении на глагол. В этом случае применяем правило написания НЕ с причастиями.
Правило второе. НЕ с причастиями нужно писать раздельно, если есть зависимые от причастия слова (причастный оборот): Не воспитанный у кинолога пёс норовил кого-то укусить.
Если возникают сомнения, как написать слово с НЕ, можно заменить его синонимом без этой частицы (приставки):
Он злобный, невоспитанный, постоянно меня в чем-то упрекает.
Павел Вособа «Побег»Владыко… невоспитанный, прячущий сухари, как школьник…
А. П. ЧеховНе воспитанный в лучших традициях молодой человек не мог показать себя в свете.
Он был не воспитанный, а грубый и дерзкий.